Чтобы построить оценку максимального правдоподобия параметра p в распределении Бернулли, следуем следующим шагам:

1. Определение задачи:

   Распределение Бернулли описывает случайный эксперимент, который имеет два возможных исхода: успех (1) и неудача (0). Параметр p представляет вероятность успеха. Если у нас есть n независимых испытаний, мы можем записать количество успехов как k.

2. Запись функции правдоподобия:

   Функция правдоподобия L(p) для параметра p, учитывая n испытаний и k успехов, выглядит следующим образом:

   L(p) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

   где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который не зависит от p и может быть опущен при максимизации функции.

3. Логарифмирование функции правдоподобия:

   Для упрощения вычислений часто используется логарифм функции правдоподобия:

   log L(p) = log(C(n, k)) + k * log(p) + (n - k) * log(1 - p).

   Так как log(C(n, k)) не зависит от p, мы можем сосредоточиться на части, зависящей от p:

   log L(p) = k * log(p) + (n - k) * log(1 - p).

4. Нахождение производной:

   Теперь найдем производную логарифма функции правдоподобия по p и приравняем её к нулю:

   d(log L(p))/dp = k/p - (n - k)/(1 - p) = 0.

5. Решение уравнения:

   Решим уравнение для p:

   1. k/p = (n - k)/(1 - p)
   2. k * (1 - p) = (n - k) * p
   3. k - kp = np - kp
   4. k = np
   5. p = k/n.
6. Получение оценки максимального правдоподобия:

   Таким образом, оценка максимального правдоподобия для параметра p в распределении Бернулли равна:

   p_hat = k/n,

   где k - количество успехов, а n - общее число испытаний.

Эта оценка p_hat является наиболее вероятным значением параметра p, основываясь на наблюдаемых данных.