Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида y' + P(x)y = Q(x), где в нашем случае P(x) = x и Q(x) = -x^3, мы можем воспользоваться методом интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель μ(x) определяется как exp(∫P(x)dx). В нашем случае:

• P(x) = x
• ∫P(x)dx = ∫xdx = (1/2)x^2
• μ(x) = exp((1/2)x^2)

Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

Теперь умножим всё уравнение на μ(x):

• exp((1/2)x^2)y' + exp((1/2)x^2)xy = -x^3 exp((1/2)x^2)

Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения.

Левая часть уравнения становится производной произведения:

• (exp((1/2)x^2)y)' = -x^3 exp((1/2)x^2)

Шаг 4: Интегрируем обе стороны уравнения.

Теперь интегрируем обе стороны по x:

• ∫(exp((1/2)x^2)y)'dx = ∫-x^3 exp((1/2)x^2)dx

Левая часть интеграла просто даст нам exp((1/2)x^2)y. Теперь сосредоточимся на правой части:

• Для интегрирования правой части можно использовать метод интегрирования по частям или подстановку. Однако, для упрощения, мы можем оставить этот интеграл в неразрешенном виде и обозначить его как I:

Шаг 5: Запишем общее решение.

Таким образом, мы получаем:

• exp((1/2)x^2)y = I + C
• где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 6: Найдем y.

Теперь выразим y:

• y = exp(-(1/2)x^2)(I + C)

Таким образом, общее решение данного линейного дифференциального уравнения будет в виде:

y = exp(-(1/2)x^2)(∫-x^3 exp((1/2)x^2)dx + C).

Для получения конкретного решения, если имеются начальные условия, подставьте их и найдите значение C.