Чтобы вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением (x² + y²)² = 2y³, мы можем использовать двойные интегралы в полярных координатах. Давайте рассмотрим шаги, необходимые для решения этой задачи.

1. Преобразование в полярные координаты:

   В полярных координатах x и y выражаются через радиус r и угол θ следующим образом:

   • x = r * cos(θ)
   • y = r * sin(θ)

   Подставим эти выражения в уравнение:

   (r²)² = 2(r * sin(θ))³

   Упростим это уравнение:

   r^4 = 2r³ * sin³(θ)

   При условии, что r ≠ 0, мы можем разделить обе стороны на r³:

   r = 2 * sin³(θ)

2. Определение пределов интегрирования:

   Теперь нужно определить, какие значения θ будут соответствовать области, ограниченной фигурой. Мы можем заметить, что функция sin³(θ) будет равна нулю, когда θ = 0, π, 2π и т.д. Таким образом, θ будет изменяться от 0 до π.

   Фигура будет симметрична относительно оси y, поэтому мы можем вычислить площадь в одной части и умножить на 2.

3. Запись формулы для площади:

   Площадь можно вычислить с помощью двойного интеграла:

   Площадь = 2 * ∫(от 0 до π) ∫(от 0 до 2 * sin³(θ)) r dr dθ

4. Вычисление интеграла:

   Сначала вычислим внутренний интеграл:

   ∫(от 0 до 2 * sin³(θ)) r dr = [r²/2] от 0 до 2 * sin³(θ) = (2 * sin³(θ))² / 2 = 2 * sin^6(θ)

   Теперь подставим это в внешний интеграл:

   Площадь = 2 * ∫(от 0 до π) 2 * sin^6(θ) dθ = 4 * ∫(от 0 до π) sin^6(θ) dθ

5. Вычисление интеграла sin^6(θ):

   Интеграл ∫(от 0 до π) sin^6(θ) dθ можно вычислить с помощью формулы для интеграла sin^n(θ). Результат этого интеграла равен:

   ∫(от 0 до π) sin^6(θ) dθ = (5/16) * π

   Таким образом, подставляем это значение:

   Площадь = 4 * (5/16) * π = (5/4) * π

Итог: Площадь плоской фигуры, ограниченной линией (x² + y²)² = 2y³, равна (5/4) * π.