Для вычисления интеграла ∫ x csc x cot x dx, давайте рассмотрим его шаг за шагом.

Шаг 1: Упрощение интеграла

Начнем с того, что csc x и cot x можно выразить через синус и косинус:

• csc x = 1/sin x
• cot x = cos x/sin x

Таким образом, мы можем переписать интеграл:

∫ x csc x cot x dx = ∫ x (1/sin x) (cos x/sin x) dx = ∫ x (cos x / sin^2 x) dx

Шаг 2: Использование подстановки

Теперь попробуем использовать интегрирование по частям. Мы можем выбрать:

• u = x (тогда du = dx)
• dv = (cos x / sin^2 x) dx

Теперь нам нужно найти v, интегрируя dv:

dv = (cos x / sin^2 x) dx

Чтобы найти v, воспользуемся заменой: пусть w = sin x, тогда dw = cos x dx. Таким образом, интеграл dv становится:

∫ (1/w^2) dw = -1/w = -1/sin x

Итак, v = -csc x.

Шаг 3: Применение формулы интегрирования по частям

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Заменяя u, du, v и dv, мы получаем:

∫ x csc x cot x dx = -x csc x - ∫ (-csc x) dx

Это выражение упрощается до:

∫ x csc x cot x dx = -x csc x + ∫ csc x dx

Шаг 4: Интеграл csc x

Интеграл csc x известен и равен:

∫ csc x dx = -ln |csc x + cot x| + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 5: Составление окончательного ответа

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

∫ x csc x cot x dx = -x csc x - ln |csc x + cot x| + C

Итак, окончательный ответ:

∫ x csc x cot x dx = -x csc x - ln |csc x + cot x| + C