Какова арифметическая иерархия и можешь привести пример?

Если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией с закрытой пи-1 формулой, будет ли результат сигма1-формулой? И верно ли обратное: если соединить закрытую пи-1 формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, получим ли пи-1 формулу? Зависит ли результат от квантора в начале? Если действие начинается с сигма1-формулы, будет ли результат сигма1-формулой? А если с пи-1 формулы, будет ли результат пи-1 формулой? Верно ли это?

Жду ответа специалистов с примерами, спасибо.

Математика Университет Логика и теория множеств арифметическая иерархия сигма1-формула пи1-формула конъюнкция формул кванторы в математике примеры формул свойства формул логика и математика математическая логика соединение формул Новый

Привет! Давай разберемся с арифметической иерархией и твоими вопросами.

Арифметическая иерархия — это способ классификации формул в арифметике по сложности, основанный на количестве кванторов. Она делится на несколько уровней:

• Сигма1 (Σ1): Формулы, которые могут быть записаны в виде "существует x, для всех y..." (∃x ∀y P(x, y)), где P — предикат без кванторов.
• Пи1 (Π1): Формулы, которые могут быть записаны как "для всех x, существует y..." (∀x ∃y P(x, y)).
• И так далее, добавляя уровни с чередованием кванторов.

Например:

• Сигма1: "Существует натуральное число x, такое что x > 0" (∃x (x > 0)).
• Пи1: "Для всех натуральных чисел x, существует y, такое что y > x" (∀x ∃y (y > x)).

Теперь по поводу твоих вопросов:

• Если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией с закрытой пи1-формулой, результат будет пи1-формулой. Это происходит потому, что конъюнкция "сохраняет" структуру, и мы начинаем с сигма1, а пи1 добавляет еще один уровень кванторов.
• Обратное также верно: если соединить закрытую пи1-формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, результат будет сигма1-формулой.
• Да, результат зависит от квантора в начале. Если действие начинается с сигма1-формулы, то результат будет сигма1-формулой. Если с пи1-формулы, то результат будет пи1-формулой.

Так что, да, все это верно! Надеюсь, это помогло прояснить ситуацию. Если будут еще вопросы, не стесняйся спрашивать!