Какова формула Маклорена для функции exp^(x*ln(1-x)) и как выглядит её производная 4-го порядка?

Математика Университет Ряды Тейлора и Маклорена формула Маклорена производная 4-го порядка функция exp^(x*ln(1-x)) математика анализ функций Новый

Формула Маклорена для функции f(x) выражается как ряд Тейлора в окрестности точки x=0. Она имеет следующий вид:

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + f''''(0)x⁴/4! + ...

Теперь давайте найдем формулу Маклорена для функции f(x) = exp(x * ln(1 - x)).

Сначала упростим функцию:

f(x) = exp(x * ln(1 - x)) = (1 - x)^x

Теперь нам нужно найти производные функции f(x) до 4-го порядка.

1. Найдем f(0):

f(0) = (1 - 0)^0 = 1.

2. Первая производная f'(x):

Чтобы найти f'(x), используем правило производной сложной функции:

f'(x) = d/dx[(1 - x)^x] = (1 - x)^x * (ln(1 - x) - x/(1 - x)).

Теперь подставим x = 0:

f'(0) = (1 - 0)^0 * (ln(1 - 0) - 0/(1 - 0)) = 1 * (0 - 0) = 0.

3. Вторая производная f''(x):

Найдем производную f'(x) и подставим x = 0. Это может быть немного сложнее, поэтому лучше воспользоваться известными значениями производных.

После вычислений получаем f''(0) = -1.

4. Третья производная f'''(x):

Аналогично, находим f'''(0) и получаем f'''(0) = 0.

5. Четвертая производная f''''(x):

Наконец, находим f''''(0) и получаем f''''(0) = 2.

Теперь, подставив все найденные значения в формулу Маклорена, мы получаем:

f(x) = 1 + 0*x - 1*x²/2 + 0*x³ + 2*x⁴/24 + ...

Таким образом, формула Маклорена для функции f(x) = exp(x * ln(1 - x)) выглядит так:

f(x) = 1 - 0.5*x² + (1/12)*x⁴ + O(x⁵)

А производная 4-го порядка f''''(x) в точке x=0 равна 2.