Какова вероятность того, что во время воздушного налета истребителем будет поражено:

1. ровно три бомбардировщика;
2. не менее четырех бомбардировщиков.

При этом в налете участвуют 5 самолетов – бомбардировщиков, и каждый из них может быть поражен с вероятностью 0,7.

Математика Университет Комбинаторика и вероятность вероятность воздушный налет истребитель бомбардировщики математическая статистика комбинаторика вероятностные события задача по математике Новый

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное число испытаний (в данном случае 5 бомбардировщиков), два возможных исхода (поражен или не поражен) и постоянная вероятность успеха (0,7).

Шаг 1: Определяем параметры биномиального распределения.

• n = 5 (количество бомбардировщиков)
• p = 0,7 (вероятность поражения одного бомбардировщика)
• q = 1 - p = 0,3 (вероятность непоражения одного бомбардировщика)

Шаг 2: Находим вероятность того, что будет поражено ровно три бомбардировщика.

Формула для биномиального распределения выглядит так:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

В нашем случае k = 3:

1. Сначала вычислим биномиальный коэффициент C(5, 3):
• C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.
2. Теперь подставим все значения в формулу:
• P(X = 3) = C(5, 3) * (0,7)^3 * (0,3)^(5-3) = 10 * (0,7)^3 * (0,3)^2.
• Теперь посчитаем:
• (0,7)^3 = 0,343,
• (0,3)^2 = 0,09.
• Следовательно, P(X = 3) = 10 * 0,343 * 0,09 = 0,3087.

Шаг 3: Находим вероятность того, что будет поражено не менее четырех бомбардировщиков.

Здесь нам нужно найти P(X >= 4). Это можно сделать, найдя P(X = 4) и P(X = 5), а затем сложив эти вероятности.

1. Сначала найдем P(X = 4):
• C(5, 4) = 5! / (4! * (5 - 4)!) = 5,
• P(X = 4) = C(5, 4) * (0,7)^4 * (0,3)^(5-4) = 5 * (0,7)^4 * (0,3)^1.
• (0,7)^4 = 0,2401, (0,3)^1 = 0,3.
• Следовательно, P(X = 4) = 5 * 0,2401 * 0,3 = 0,36015.
2. Теперь найдем P(X = 5):
• C(5, 5) = 1,
• P(X = 5) = C(5, 5) * (0,7)^5 * (0,3)^(5-5) = 1 * (0,7)^5 * (0,3)^0.
• (0,7)^5 = 0,16807.
• Следовательно, P(X = 5) = 0,16807.

Шаг 4: Сложим вероятности P(X = 4) и P(X = 5):

P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,36015 + 0,16807 = 0,52822.

Итак, окончательные ответы:

• Вероятность поражения ровно трех бомбардировщиков: 0,3087.
• Вероятность поражения не менее четырех бомбардировщиков: 0,52822.