Основная теорема дифференциального исчисления (также известная как основная теорема анализа) связывает понятия производной и интеграла. Доказательство этой теоремы состоит из нескольких ключевых шагов. Давайте рассмотрим основные моменты, которые помогут понять это доказательство.

1. Постановка задачи:

   Основная теорема дифференциального исчисления утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует такая функция F, что F' = f и F(b) - F(a) = ∫(a, b) f(x) dx.

2. Определение функции F:

   Мы определяем функцию F(x) как определенный интеграл от f на отрезке [a, x]: F(x) = ∫(a, x) f(t) dt. Эта функция F будет непрерывной и дифференцируемой на интервале (a, b).

3. Применение теоремы о среднем значении:

   Для доказательства, что F'(x) = f(x), мы можем использовать теорему о среднем значении. Для этого возьмем два значения x и x + h, где h - малое положительное число. Тогда по определению производной:

   • F'(x) = lim (h -> 0) [F(x + h) - F(x)] / h.
   • F(x + h) = ∫(a, x + h) f(t) dt и F(x) = ∫(a, x) f(t) dt.
   • Поэтому F(x + h) - F(x) = ∫(x, x + h) f(t) dt.
4. Использование свойства интеграла:

   Теперь подставим это в формулу для производной:

   • F'(x) = lim (h -> 0) [∫(x, x + h) f(t) dt] / h.
   • По свойству интегралов, это можно записать как: F'(x) = f(c) для некоторого c в (x, x + h).

   Когда h стремится к 0, c также стремится к x, и, если f непрерывна в x, то f(c) стремится к f(x).

5. Заключение:

   Таким образом, мы получаем, что F'(x) = f(x), что и требовалось доказать. Это завершает доказательство основной теоремы дифференциального исчисления.

Основная теорема дифференциального исчисления является важным результатом, который связывает два основных понятия анализа: производные и интегралы. Она показывает, что интегрирование и дифференцирование являются обратными процессами.