Можно ли покрыть все точки квадратной сетки на евклидовой плоскости, состоящей из всех точек (m,n), где m и n - целые числа, бесконечным семейством дисков с непересекающимися внутренностями, если каждый диск этого семейства имеет радиус не менее 5?

Математика Университет Геометрия квадратная сетка евклидова плоскость точки (m,n) бесконечное семейство дисков радиус диска непересекающиеся внутренности покрытие точек Новый

Для решения этой задачи необходимо понять, что такое квадратная сетка и как можно покрыть её точки дисками с заданными условиями.

Шаг 1: Определение квадратной сетки

Квадратная сетка на евклидовой плоскости состоит из всех точек (m, n), где m и n - целые числа. Это значит, что каждая точка на сетке имеет координаты целых чисел. Например, точки (0,0), (1,1), (-1,-1) и т.д. являются точками этой сетки.

Шаг 2: Определение дисков

Диск с центром в точке (x, y) и радиусом r включает все точки, которые находятся на расстоянии менее r от центра. В данной задаче речь идет о дисках с радиусом не менее 5.

Шаг 3: Условия непересекающихся внутренностей

Условие непересекающихся внутренностей означает, что ни один из дисков не может пересекаться с другим, то есть внутренние точки одного диска не могут находиться внутри другого диска.

Шаг 4: Расчет расстояний

Радиус каждого диска равен 5, следовательно, центр каждого диска (m, n) будет покрывать точки, находящиеся в пределах от (m-5, n-5) до (m+5, n+5). Это означает, что каждый диск будет занимать область 10x10 вокруг своей центра.

Шаг 5: Расположение дисков

• Если мы разместим диски с центрами в точках (0, 0), (10, 0), (0, 10), (10, 10) и так далее, то они не будут пересекаться, так как расстояние между центрами дисков будет равно 10.
• Таким образом, каждый диск будет покрывать все точки сетки в пределах радиуса 5 вокруг своего центра.

Шаг 6: Проверка покрытия

Поскольку мы можем разместить диски на расстоянии 10 друг от друга, и каждый диск охватывает область 10x10, мы можем покрыть всю квадратную сетку. Диски, расположенные на расстоянии 10 друг от друга, не будут пересекаться, и каждый из них будет покрывать множество точек сетки.

Вывод

Таким образом, да, можно покрыть все точки квадратной сетки на евклидовой плоскости бесконечным семейством дисков с непересекающимися внутренностями, если каждый диск имеет радиус не менее 5.