2025-02-18 09:06:32
Помогите, пожалуйста, найти предел, не используя правило Лопиталя:
lim (x стремится к 0) = (cos(5x) - 1) / (x * tg(2x))
Математика Университет Пределы функций предел математика лимит cos tg x стремится к 0 правило Лопиталя нахождение предела
2025-02-18 09:06:45
Чтобы найти предел lim (x стремится к 0) (cos(5x) - 1) / (x * tg(2x)), начнем с анализа числителя и знаменателя отдельно.
Шаг 1: Анализ числителя
В числителе у нас выражение cos(5x) - 1. Мы знаем, что при x стремящемся к 0, cos(5x) можно разложить в ряд Тейлора:
- cos(5x) = 1 - (5x)^2/2 + O(x^4), где O(x^4) - это остаточный член, который стремится к 0 быстрее, чем x^4.
Таким образом, когда мы вычтем 1, получим:
- cos(5x) - 1 = - (5x)^2/2 + O(x^4).
Шаг 2: Анализ знаменателя
Теперь рассмотрим знаменатель x * tg(2x). Мы знаем, что tg(2x) = sin(2x) / cos(2x). При x стремящемся к 0, tg(2x) можно также разложить в ряд Тейлора:
- tg(2x) = 2x + O(x^3).
Таким образом, знаменатель будет равен:
- x * tg(2x) = x * (2x + O(x^3)) = 2x^2 + O(x^4).
Шаг 3: Подстановка в предел
Теперь подставим наши результаты в предел:
- lim (x стремится к 0) (cos(5x) - 1) / (x * tg(2x)) = lim (x стремится к 0) [-(5x^2/2 + O(x^4)) / (2x^2 + O(x^4))].
Шаг 4: Упрощение выражения
Теперь упростим это выражение. В пределе, когда x стремится к 0, O(x^4) становится незначительным по сравнению с x^2:
- lim (x стремится к 0) [-(5x^2/2) / (2x^2)] = lim (x стремится к 0) - (5/2) / 2 = - (5/4).
Ответ: Предел равен -5/4.
