Пожалуйста, помогите решить задачу по высшей математике. Вопрос касается элементов векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве.

Даны вершины треугольной пирамиды S(1; 4; 5), A(2; -4; -1), B(-4; 2; -4), C(-4; -1; -4). Необходимо найти:

1. Угол между ребрами BS и BC;
2. Площадь грани ABC;
3. Объем пирамиды SABC;
4. Длину высоты, опущенной из вершины S на грань ABC;
5. Угол между ребром SC и гранью ABC;
6. Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань AB.

Математика Университет Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве высшая математика векторная алгебра аналитическая геометрия треугольная пирамида угол между ребрами площадь грани объём пирамиды длина высоты уравнение высоты Новый

Давайте последовательно решим каждую из поставленных задач, используя элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

1. Угол между ребрами BS и BC.

Сначала найдем векторы BS и BC.

• Вектор BS = S - B = (1 - (-4), 4 - 2, 5 - (-4)) = (5, 2, 9).
• Вектор BC = C - B = (-4 - (-4), -1 - 2, -4 - (-4)) = (0, -3, 0).

Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|), где A · B - скалярное произведение векторов, |A| и |B| - их длины.

• Скалярное произведение BS и BC: BS · BC = 5 * 0 + 2 * (-3) + 9 * 0 = -6.
• Длина вектора BS: |BS| = √(5² + 2² + 9²) = √(25 + 4 + 81) = √110.
• Длина вектора BC: |BC| = √(0² + (-3)² + 0²) = 3.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = -6 / (√110 * 3) = -6 / (3√110) = -2 / √110.

Таким образом, угол θ = arccos(-2 / √110).

2. Площадь грани ABC.

Для нахождения площади треугольника ABC, используем формулу:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где x - векторное произведение.

• Вектор AB = B - A = (-4 - 2, 2 - (-4), -4 - (-1)) = (-6, 6, -3).
• Вектор AC = C - A = (-4 - 2, -1 - (-4), -4 - (-1)) = (-6, 3, -3).

Теперь найдем векторное произведение AB x AC:

• AB x AC = |i j k|
• |-6 6 -3|
• |-6 3 -3|

Вычисляем детерминант:

• i(6 * -3 - 3 * -3) - j(-6 * -3 - -3 * -6) + k(-6 * 3 - 6 * -6) = i(-18 + 9) - j(18 - 18) + k(-18 + 36).
• Итак, AB x AC = (-9, 0, 18).

Теперь найдем длину этого вектора:

|AB x AC| = √((-9)² + 0² + 18²) = √(81 + 0 + 324) = √405.

Теперь подставляем в формулу для площади:

Площадь = 0.5 * √405 = 0.5 * 9√5 = 4.5√5.

3. Объем пирамиды SABC.

Объем V пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

Мы уже нашли площадь S = 4.5√5. Теперь найдем высоту h, опущенную из S на плоскость ABC.

4. Длина высоты, опущенной из вершины S на грань ABC.

Для нахождения высоты используем формулу:

h = (3V) / S.

Сначала найдем нормальный вектор к плоскости ABC, используя векторы AB и AC:

• Нормальный вектор n = AB x AC = (-9, 0, 18).

Теперь найдем расстояние от точки S до плоскости ABC:

d = |n · (S - A)| / |n|, где S - вершина, A - одна из вершин треугольника.

• Вектор SA = S - A = (1 - 2, 4 - (-4), 5 - (-1)) = (-1, 8, 6).
• n · (S - A) = (-9, 0, 18) · (-1, 8, 6) = 9 - 0 + 108 = 117.
• |n| = √((-9)² + 0² + 18²) = √(81 + 0 + 324) = √405.

Теперь подставляем в формулу для расстояния:

d = |117| / √405 = 117 / √405.

Таким образом, высота h = 117 / √405.

5. Угол между ребром SC и гранью ABC.

Сначала найдем вектор SC:

• Вектор SC = C - S = (-4 - 1, -1 - 4, -4 - 5) = (-5, -5, -9).

Теперь используем тот же метод, что и для нахождения угла между BS и BC:

cos(φ) = (SC · n) / (|SC| |n|).

• Скалярное произведение SC и n: SC · n = (-5, -5, -9) · (-9, 0, 18) = 45 + 0 - 162 = -117.
• Длина вектора SC: |SC| = √((-5)² + (-5)² + (-9)²) = √(25 + 25 + 81) = √131.

Теперь подставляем в формулу:

cos(φ) = -117 / (√131 * √405).

Таким образом, угол φ = arccos(-117 / (√131 * √405)).

6. Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань AB.

Для нахождения уравнения высоты, сначала найдем уравнение плоскости AB.

Уравнение плоскости можно записать как Ax + By + Cz + D = 0. Для этого используем нормальный вектор к плоскости, который мы уже нашли.

Подставляем координаты точек A и B для нахождения D:

• n · (A) + D = 0, где A = (2, -4, -1).
• Таким образом, D = -n · (A) = 9 * 2 + 0 * (-4) + (-18) * (-1) = 18 + 18 = 36.

Уравнение плоскости AB: -9x + 0y + 18z - 36 = 0.

Теперь найдем уравнение высоты, которая проходит через S и перпендикулярна плоскости AB. Для этого используем вектор, направленный вдоль нормали:

• Уравнение высоты: x = 1 - 9t, y = 4 + 0t, z = 5 + 18t.

Таким образом, мы последовательно нашли все необходимые элементы: угол между ребрами, площадь, объем, высоту, угол между ребром и гранью, а также уравнение высоты.