Давайте последовательно решим каждую из поставленных задач, используя элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

1. Угол между ребрами BS и BC.

Сначала найдем векторы BS и BC.

• Вектор BS = S - B = (1 - (-4),4 - 2, 5 - (-4)) = (5, 2, 9).
• Вектор BC = C - B = (-4 - (-4),-1 - 2, -4 - (-4)) = (0, -3, 0).

Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|),где A · B - скалярное произведение векторов, |A| и |B| - их длины.

• Скалярное произведение BS и BC: BS · BC = 5 * 0 + 2 * (-3) + 9 * 0 = -6.
• Длина вектора BS: |BS| = √(5² + 2² + 9²) = √(25 + 4 + 81) = √110.
• Длина вектора BC: |BC| = √(0² + (-3)² + 0²) = 3.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = -6 / (√110 * 3) = -6 / (3√110) = -2 / √110.

Таким образом, угол θ = arccos(-2 / √110).

2. Площадь грани ABC.

Для нахождения площади треугольника ABC, используем формулу:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где x - векторное произведение.

• Вектор AB = B - A = (-4 - 2, 2 - (-4),-4 - (-1)) = (-6, 6, -3).
• Вектор AC = C - A = (-4 - 2, -1 - (-4),-4 - (-1)) = (-6, 3, -3).

Теперь найдем векторное произведение AB x AC:

• AB x AC = |i j k|
• |-6 6 -3|
• |-6 3 -3|

Вычисляем детерминант:

• i(6 * -3 - 3 * -3) - j(-6 * -3 - -3 * -6) + k(-6 * 3 - 6 * -6) = i(-18 + 9) - j(18 - 18) + k(-18 + 36).
• Итак, AB x AC = (-9, 0, 18).

Теперь найдем длину этого вектора:

|AB x AC| = √((-9)² + 0² + 18²) = √(81 + 0 + 324) = √405.

Теперь подставляем в формулу для площади:

Площадь = 0.5 * √405 = 0.5 * 9√5 = 4.5√5.

3. Объем пирамиды SABC.

Объем V пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

Мы уже нашли площадь S = 4.5√5. Теперь найдем высоту h, опущенную из S на плоскость ABC.

4. Длина высоты, опущенной из вершины S на грань ABC.

Для нахождения высоты используем формулу:

h = (3V) / S.

Сначала найдем нормальный вектор к плоскости ABC, используя векторы AB и AC:

• Нормальный вектор n = AB x AC = (-9, 0, 18).

Теперь найдем расстояние от точки S до плоскости ABC:

d = |n · (S - A)| / |n|, где S - вершина, A - одна из вершин треугольника.

• Вектор SA = S - A = (1 - 2, 4 - (-4),5 - (-1)) = (-1, 8, 6).
• n · (S - A) = (-9, 0, 18) · (-1, 8, 6) = 9 - 0 + 108 = 117.
• |n| = √((-9)² + 0² + 18²) = √(81 + 0 + 324) = √405.

Теперь подставляем в формулу для расстояния:

d = |117| / √405 = 117 / √405.

Таким образом, высота h = 117 / √405.

5. Угол между ребром SC и гранью ABC.

Сначала найдем вектор SC:

• Вектор SC = C - S = (-4 - 1, -1 - 4, -4 - 5) = (-5, -5, -9).

Теперь используем тот же метод, что и для нахождения угла между BS и BC:

cos(φ) = (SC · n) / (|SC| |n|).

• Скалярное произведение SC и n: SC · n = (-5, -5, -9) · (-9, 0, 18) = 45 + 0 - 162 = -117.
• Длина вектора SC: |SC| = √((-5)² + (-5)² + (-9)²) = √(25 + 25 + 81) = √131.

Теперь подставляем в формулу:

cos(φ) = -117 / (√131 * √405).

Таким образом, угол φ = arccos(-117 / (√131 * √405)).

6. Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань AB.

Для нахождения уравнения высоты, сначала найдем уравнение плоскости AB.

Уравнение плоскости можно записать как Ax + By + Cz + D = 0. Для этого используем нормальный вектор к плоскости, который мы уже нашли.

Подставляем координаты точек A и B для нахождения D:

• n · (A) + D = 0, где A = (2, -4, -1).
• Таким образом, D = -n · (A) = 9 * 2 + 0 * (-4) + (-18) * (-1) = 18 + 18 = 36.

Уравнение плоскости AB: -9x + 0y + 18z - 36 = 0.

Теперь найдем уравнение высоты, которая проходит через S и перпендикулярна плоскости AB. Для этого используем вектор, направленный вдоль нормали:

• Уравнение высоты: x = 1 - 9t, y = 4 + 0t, z = 5 + 18t.

Таким образом, мы последовательно нашли все необходимые элементы: угол между ребрами, площадь, объем, высоту, угол между ребром и гранью, а также уравнение высоты.