Пусть:

f(x) = ∫(от 0 до x) √(1 + cos²(t)) dt

A = f(π/2)

B = f(5π/6)

1. (а) Существует ли функция, обратная f?
2. (b) Какое значение имеет производная обратной функции в точке A, то есть (f⁻¹)'(A)?
3. (c) Какое значение имеет производная обратной функции в точке B, то есть (f⁻¹)'(B)?

Математика Университет Интегральное исчисление и производные обратных функций интеграл производная обратная функция математика f(x) A B cos²(t) вычисление производной анализ функции Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа функции f(x), которая задана как определенный интеграл:

f(x) = ∫(от 0 до x) √(1 + cos²(t)) dt

1. **Существование обратной функции**:

• Чтобы функция f имела обратную, она должна быть строго монотонной. Это можно проверить, проанализировав производную f'(x).

По теореме о производной интеграла, мы можем найти производную f(x):

f'(x) = √(1 + cos²(x))

2. **Анализ производной**:

• Функция √(1 + cos²(x)) всегда положительна, так как cos²(x) всегда неотрицателен, и следовательно, 1 + cos²(x) также всегда положительно.
• Это означает, что f'(x) > 0 для всех x, следовательно, f(x) является строго возрастающей функцией.

Таким образом, функция f имеет обратную.

3. **Производная обратной функции**:

Согласно формуле для производной обратной функции, мы имеем:

(f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y))

Теперь нам нужно найти значения A и B:

A = f(π/2) и B = f(5π/6).

4. **Вычисление A и B**:

• Для A:
1. Вычисляем f(π/2):
2. f(π/2) = ∫(от 0 до π/2) √(1 + cos²(t)) dt.
3. Точное значение интеграла не требуется для дальнейших расчетов, но мы можем обозначить его как A.
• Для B:
1. Вычисляем f(5π/6):
2. f(5π/6) = ∫(от 0 до 5π/6) √(1 + cos²(t)) dt.
3. Точное значение интеграла также обозначим как B.

5. **Производная обратной функции в точке A**:

Теперь найдем (f⁻¹)'(A):

(f⁻¹)'(A) = 1 / f'(f⁻¹(A))

Так как f(f⁻¹(A)) = A, то f⁻¹(A) = π/2. Таким образом:

(f⁻¹)'(A) = 1 / f'(π/2)

Теперь подставим значение производной:

f'(π/2) = √(1 + cos²(π/2)) = √(1 + 0) = 1

Таким образом:

(f⁻¹)'(A) = 1 / 1 = 1

6. **Производная обратной функции в точке B**:

Теперь найдем (f⁻¹)'(B):

(f⁻¹)'(B) = 1 / f'(f⁻¹(B))

Аналогично, f(f⁻¹(B)) = B, и следовательно f⁻¹(B) = 5π/6. Таким образом:

(f⁻¹)'(B) = 1 / f'(5π/6)

Теперь подставим значение производной:

f'(5π/6) = √(1 + cos²(5π/6)) = √(1 + (√3/2)²) = √(1 + 3/4) = √(7/4) = √7 / 2

Таким образом:

(f⁻¹)'(B) = 1 / (√7 / 2) = 2 / √7

В итоге, мы получили ответы:

• (a) Функция f имеет обратную.
• (b) (f⁻¹)'(A) = 1.
• (c) (f⁻¹)'(B) = 2 / √7.