Срочно!!!!!!! Даю 100 баллов!!! [НЕ СПАМИТЬ И НЕ ПИСАТЬ , ЧТО НЕ ЗНАЕТЕ!!!!!]

Тема: "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных".

Задание: Как найти производную функции z = arctg(y/x) в точке (1/2; sqrt(3)/2), которая принадлежит кругу x^(2) + y^(2) - 2x = 0, по направлению этого круга?

Математика Университет Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных дифференциальное исчисление производная функции круг уравнение точка (1/2 sqrt(3)/2) направление круга Новый

Для нахождения производной функции z = arctg(y/x) в заданной точке (1/2; sqrt(3)/2) по направлению круга, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Определение уравнения круга.

Уравнение круга x^(2) + y^(2) - 2x = 0 можно переписать в стандартной форме. Приведем его к виду:

• x^(2) - 2x + y^(2) = 0
• (x - 1)^(2) + y^(2) = 1

Это уравнение описывает круг с центром в точке (1, 0) и радиусом 1.

Шаг 2: Нахождение градиента функции.

Для функции z = arctg(y/x) найдем частные производные по x и y:

• ∂z/∂x = -y/(x^2 + y^2)
• ∂z/∂y = x/(x^2 + y^2)

Шаг 3: Вычисление градиента в точке (1/2; sqrt(3)/2).

Теперь подставим координаты точки (1/2; sqrt(3)/2) в найденные частные производные:

• ∂z/∂x = -sqrt(3)/((1/2)^2 + (sqrt(3)/2)^2) = -sqrt(3)/(1/4 + 3/4) = -sqrt(3)/1 = -sqrt(3)
• ∂z/∂y = (1/2)/((1/2)^2 + (sqrt(3)/2)^2) = (1/2)/(1) = 1/2

Таким образом, градиент функции в точке (1/2; sqrt(3)/2) равен:

• ∇z = (-sqrt(3), 1/2)

Шаг 4: Нахождение производной по направлению круга.

Теперь нам нужно найти направление, в котором мы будем двигаться по кругу. Направляющий вектор круга в точке (1/2; sqrt(3)/2) можно найти, взяв производную по параметру. Параметрическая форма круга будет выглядеть как:

• x(t) = 1 + cos(t)
• y(t) = sin(t)

Найдём производные:

• dx/dt = -sin(t)
• dy/dt = cos(t)

В точке (1/2; sqrt(3)/2), соответствующее значение параметра t можно найти, подставив координаты в уравнения круга. Поскольку x = 1/2, а y = sqrt(3)/2, мы можем взять, например, t = π/3.

Теперь подставим t = π/3:

• dx/dt = -sin(π/3) = -sqrt(3)/2
• dy/dt = cos(π/3) = 1/2

Таким образом, направляющий вектор круга в точке (1/2; sqrt(3)/2) равен (-sqrt(3)/2, 1/2).

Шаг 5: Нахождение производной по направлению.

Теперь мы можем найти производную функции z по направлению круга, используя скалярное произведение градиента и направляющего вектора:

• D = ∇z * v = (-sqrt(3), 1/2) * (-sqrt(3)/2, 1/2)
• D = (-sqrt(3) * -sqrt(3)/2) + (1/2 * 1/2) = (3/2) + (1/4) = 3/2 + 1/4 = 6/4 + 1/4 = 7/4

Ответ: Производная функции z = arctg(y/x) в точке (1/2; sqrt(3)/2) по направлению круга равна 7/4.