2025-09-16 02:41:46
Вычислить интеграл:
∫(от 0 до 1) (1/(2^x + 1)) dx
(не использовать приближенные значения, разложения!)
Математика Университет Неопределённые интегралы интеграл вычислить интеграл математика интеграл от 0 до 1 1/(2^x + 1) математический анализ определенный интеграл Новый
2025-09-16 02:42:30
Для вычисления интеграла ∫(от 0 до 1) (1/(2^x + 1)) dx мы воспользуемся методом подстановки.
Первым шагом будет сделать замену переменной. Мы можем взять t = 2^x. Тогда, чтобы выразить dx через dt, нам нужно найти производную t по x:
- dt/dx = 2^x * ln(2)
- dx = dt / (2^x * ln(2)) = dt / (t * ln(2))
Теперь нам нужно определить пределы интегрирования. Когда x = 0, t = 2^0 = 1. Когда x = 1, t = 2^1 = 2. Таким образом, пределы интегрирования изменяются с x: от 0 до 1 на t: от 1 до 2.
Теперь подставим все в наш интеграл:
∫(от 0 до 1) (1/(2^x + 1)) dx = ∫(от 1 до 2) (1/(t + 1)) * (dt / (t * ln(2)))Это можно упростить:
∫(от 1 до 2) (1/(t + 1) * (1/(t * ln(2)))) dt = (1/ln(2)) * ∫(от 1 до 2) (1/(t(t + 1))) dtТеперь мы можем разложить дробь 1/(t(t + 1)) на простейшие дроби:
- 1/(t(t + 1)) = A/t + B/(t + 1)
Умножим обе стороны на t(t + 1):
- 1 = A(t + 1) + Bt
Теперь подберем коэффициенты. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t:
- При t^0: 1 = A
- При t^1: 0 = B + A
Из первого уравнения мы получаем, что A = 1. Подставляем это во второе уравнение:
- 0 = B + 1
- Следовательно, B = -1
Таким образом, мы имеем:
1/(t(t + 1)) = 1/t - 1/(t + 1)Теперь подставим это обратно в интеграл:
(1/ln(2)) * ∫(от 1 до 2) (1/t - 1/(t + 1)) dtТеперь мы можем вычислить этот интеграл:
(1/ln(2)) * [ln|t| - ln|t + 1|] (от 1 до 2)Подставим пределы:
- При t = 2: ln(2) - ln(3)
- При t = 1: ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2)
Теперь вычтем результаты:
ln(2) - ln(3) - (-ln(2)) = ln(2) - ln(3) + ln(2) = 2ln(2) - ln(3)Теперь подставим это обратно в наш интеграл:
(1/ln(2)) * (2ln(2) - ln(3))Упростим:
2 - ln(3)/ln(2)Таким образом, окончательный ответ для интеграла:
∫(от 0 до 1) (1/(2^x + 1)) dx = 2 - ln(3)/ln(2)