Для начала давайте разберемся с понятием выпуклой оболочки. Выпуклая оболочка множества точек S в R² — это наименьший выпуклый многоугольник, который содержит все точки из S. В данном случае, S состоит из трех точек: (1,0), (0,1) и (1,1).

Теперь применим теорему Каратеодори. Согласно этой теореме, если точка x принадлежит выпуклой оболочке множества точек S в R², то она может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем d + 1 точек из S, где d — это размерность пространства. В нашем случае d = 2, так как мы работаем в R². Это означает, что любая точка в выпуклой оболочке S может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем 3 точек из S.

Теперь давайте рассмотрим конкретный пример точки в выпуклой оболочке S. Выберем точку x = (0.5, 0.5). Мы хотим показать, что эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация точек из S.

Выпуклая комбинация точек (1,0), (0,1) и (1,1) имеет вид:

• x = a(1,0) + b(0,1) + c(1,1),

где a, b и c — неотрицательные числа, такие что a + b + c = 1.

Для точки (0.5, 0.5) мы можем взять:

• a = 0.5,
• b = 0,
• c = 0.5.

Теперь подставим значения:

• (0.5, 0.5) = 0.5(1,0) + 0(0,1) + 0.5(1,1).

Таким образом, точка (0.5, 0.5) может быть представлена как выпуклая комбинация двух точек: (1,0) и (1,1), что соответствует теореме Каратеодори.

В заключение, мы показали, что любая точка в выпуклой оболочке S может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем трех точек из S, и привели пример такой точки с соответствующей комбинацией.