2025-08-25 04:15:54
Задача 7. Пусть Y - дискретная случайная величина, принимающая значения {0,1,2, …}, а при заданном Y=y условным распределением случайной величины X будет биномиальное распределение с параметрами y и p, где p=0,5 - вероятность успеха. Пусть Y имеет распределение Пуассона со средним значением λ=4. Тогда предельное распределение X будет распределение Пуассона. Какое значение имеет его параметр?
Математика Университет Предельное распределение случайных величин дискретная случайная величина биномиальное распределение распределение Пуассона предельное распределение параметры распределения
2025-08-26 05:33:08
Для решения данной задачи нам нужно использовать теорию предельных распределений и свойства биномиального и пуассоновского распределений.
Итак, у нас есть случайная величина Y, которая распределена по закону Пуассона с параметром λ = 4. Это значит, что вероятность того, что Y примет значение y, можно выразить следующим образом:
- P(Y = y) = (e^(-λ) * λ^y) / y! для y = 0, 1, 2, ...
Теперь, при условии, что Y = y, случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами y и p, где p = 0,5. Вероятность того, что X примет значение x при заданном Y = y, можно записать так:
- P(X = x | Y = y) = (y! / (x! * (y - x)!)) * p^x * (1 - p)^(y - x) для x = 0, 1, ..., y
Теперь, чтобы найти предельное распределение X, мы воспользуемся теоремой о предельном распределении. Когда y стремится к бесконечности, биномиальное распределение с параметрами y и p стремится к пуассоновскому распределению с параметром λ = p * y.
В нашем случае p = 0,5, а среднее значение Y = λ = 4. Поэтому:
λ' = p * E[Y] = 0,5 * 4 = 2.
Таким образом, предельное распределение X будет распределение Пуассона с параметром λ' = 2.
Ответ: Предельное распределение X имеет параметр 2.