Чтобы правильно вставить двусоставные союзы в предложениях, необходимо понимать, как они функционируют и какие связи устанавливают между частями предложения. Двусоставные союзы, как правило, используются для соединения однородных членов или частей сложносочиненного предложения. Рассмотрим каждый из предложенных случаев.

1. Первое предложение: Не только в Москве проходят каждый год различные художественные игры, _______ в Санкт-Петербурге ежегодно проводятся театральные и художественные фестивали.
   • В этом случае мы имеем конструкцию "не только... но и...", которая используется для соединения двух однородных частей. Поэтому правильный союз будет "но и".
   Правильный вариант: Не только в Москве проходят каждый год различные художественные игры, но и в Санкт-Петербурге ежегодно проводятся театральные и художественные фестивали.
2. Второе предложение: _________ художественные игры "Московские звезды" в Москве, ___________ "Белые ночи" в Санкт-Петербурге всегда имеют большой успех у зрителей.
   • Здесь мы можем использовать двусоставные союзы "как", "так и". Они связывают две части, указывая на то, что обе ситуации равнозначны. Поэтому правильно вставить "как" в начале и "так и" во второй части.
   Правильный вариант: Как художественные игры "Московские звезды" в Москве, так и "Белые ночи" в Санкт-Петербурге всегда имеют большой успех у зрителей.
3. Третье предложение: Ни опера _______ балет меня не интересуют, мне нравятся драматические театральные пьесы.
   • Здесь используется конструкция "ни... ни...", которая связывает два однородных члена предложения. Поэтому правильный союз будет "ни".
   Правильный вариант: Ни опера ни балет меня не интересуют, мне нравятся драматические театральные пьесы.

Таким образом, правильное использование двусоставных союзов помогает создать логическую связь между частями предложения и сделать текст более выразительным.