Эта загадка описывает шахматы. Давайте разберем ее по частям:

• С той и с этой стороны - это указывает на то, что шахматная доска имеет две стороны, где располагаются фигуры каждого игрока.
• В клетках кони и слоны - здесь речь идет о шахматных фигурах: кони (это кони, или «лошади») и слоны.
• В клетках справа, в клетках слева - это говорит о том, что фигуры располагаются на клетках шахматной доски, которая состоит из чередующихся черных и белых клеток.
• Короли и королевы - это также шахматные фигуры: короли и ферзи (или королевы).
• Но не могут удержаться, Чтоб друг с другом не сражаться! - это указывает на суть игры в шахматы, где игроки противостоят друг другу и стремятся победить.

Таким образом, ответ на загадку - это шахматы.