Давайте разберем каждое утверждение по порядку и определим, какие из них являются правильными.

1. Русской армией в Бородинском сражении командовал А. В. Суворов.

   Это утверждение неверно. В Бородинском сражении, которое произошло в 1812 году, командовал Михаил Илларионович Кутузов. А. В. Суворов не мог командовать этой армией, так как он умер в 1800 году.

2. Черноморским флотом в войне с Турцией командовал М. И. Кутузов.

   Это также неверно. Михаил Илларионович Кутузов не командовал Черноморским флотом. Он был командующим армией, а флотом в тот период командовали другие адмиралы.

3. Манифест об освобождении крестьян подписал император Александр ||.

   Это утверждение верно. Император Александр II подписал манифест об освобождении крестьян в 1861 году, что стало важным событием в истории России.

4. Открытие Московского Университета связано с именем Е. Р. Дашковой.

   Это утверждение неверно. Московский университет был основан в 1755 году, и его открытие связано с именем Михаила Ломоносова, хотя Елизавета Петровна Дашкова также играла важную роль в развитии образования.

5. "Наш первый университет", так называли Н. М. Карамзина.

   Это утверждение неверно. Н. М. Карамзин не был тем, кто называл Московский университет "нашим первым университетом". Так обычно говорят о Московском университете в целом, но не конкретно о Карамзине.

6. "Последним русским летописцем" современники называли М. В. Ломоносова.

   Это утверждение неверно. "Последним русским летописцем" обычно называют Нестора, а Михаил Васильевич Ломоносов известен как ученый, поэт и просветитель, но не как летописец.

Таким образом, единственное правильное утверждение из предложенных - это то, что манифест об освобождении крестьян подписал император Александр II.