Для проведения исследования функций и построения их графиков, мы можем следовать общей схеме, которая включает несколько ключевых шагов. Давайте рассмотрим каждый из них подробно.

Шаги для исследования функций:

1. Определение области определения (ОД): Найдите, для каких значений x функция определена.
2. Нахождение пределов: Определите пределы функции при x, стремящемся к границам области определения.
3. Нахождение производной: Вычислите производную функции для анализа её поведения (возрастание, убывание, экстремумы).
4. Нахождение критических точек: Найдите значения x, при которых производная равна нулю или не существует.
5. Анализ знаков производной: Определите интервалы, на которых функция возрастает или убывает.
6. Нахождение вторых производных: Для определения выпуклости функции и нахождения точек перегиба.
7. Построение графика: На основании полученных данных постройте график функции.

Пример исследования функции f(x) = x^4 + 4x^2:

1. ОД: Функция определена для всех x, т.е. OД = R.
2. Пределы: lim (x→±∞) f(x) = +∞.
3. Производная: f'(x) = 4x^3 + 8x.
4. Критические точки: Решаем 4x^3 + 8x = 0, получаем x = 0, ±√2.
5. Знаки производной: Анализируем интервалы: (-∞, -√2), (-√2, 0), (0, √2), (√2, ∞).
6. Вторые производные: f''(x) = 12x^2 + 8.
7. График: На основании анализа строим график функции.

Другие функции:

• Для f(x) = x^3 + x: аналогично, определяем ОД, пределы, производные и критические точки.
• Для f(x) = x^2 - 2|x| + 1: учитываем, что |x| зависит от знака x.
• Для f(x) = |x| - x^2: также исследуем в зависимости от знака x.
• Для f(x) = 1 - √(x + 4): ОД x ≥ -4, учитываем корень.
• Для f(x) = √(x - 2) - 2: ОД x ≥ 2.
• Для f(x) = (x + 1)/(x - 1): ОД x ≠ 1, определяем асимптоты.
• Для f(x) = (2x + 1)/x: ОД x ≠ 0, также исследуем асимптоты.

После выполнения всех шагов для каждой функции, вы сможете построить их графики, основываясь на полученных данных о поведении функции, её экстремумах и выпуклости.