Давайте разберем каждое из предложенных выражений и выясним, какой вариант написания является правильным, а также почему именно так.

1. "было (по)прежнему тихо"

   Правильный вариант: "было по-прежнему тихо".

   Слово "по-прежнему" пишется через дефис, так как это составное наречие, которое обозначает состояние, не изменившееся со временем.

2. "приоткрыв (по)детски рот"

   Правильный вариант: "приоткрыв по-детски рот".

   Здесь "по-детски" также является составным наречием, которое описывает способ действия. Слова, образованные с помощью "по-" и обозначающие способ, всегда пишутся через дефис.

3. "написано (по)немецки"

   Правильный вариант: "написано по-немецки".

   Аналогично предыдущему примеру, "по-немецки" также является составным наречием, указывающим на язык, на котором что-то написано, и требует дефиса.

4. "шли бок о бок"

   Правильный вариант: "шли бок о бок".

   В этом случае выражение "бок о бок" пишется раздельно, так как это устойчивое выражение, обозначающее совместное движение рядом, и не требует дефиса.

5. "дни (по)весеннему ласковы"

   Правильный вариант: "дни по-весеннему ласковы".

   Здесь "по-весеннему" также является составным наречием, которое описывает характер дней. Как и в предыдущих примерах, оно пишется через дефис.

Таким образом, мы видим, что в большинстве случаев правильное написание связано с использованием составных наречий, которые требуют дефиса. В случае с "бок о бок" мы имеем дело с устойчивым выражением, которое пишется раздельно.