Чтобы правильно определить написание "не" в различных случаях, нужно учитывать несколько правил. Давайте рассмотрим каждый из ваших примеров и разберёмся, как правильно писать "не" в каждом случае.

1. (не)поверив - здесь "не" пишется слитно, так как это деепричастие, и "не" с деепричастиями всегда пишется слитно.
2. решение (не) одобрено - в данном случае "не" пишется раздельно, так как "не" с причастиями и глаголами пишется раздельно, если оно не усиливает значение слова.
3. это (не)доброжелательность, а равнодушие - здесь "не" пишется слитно, так как "недоброжелательность" является качественным признаком и "не" усиливает значение слова.
4. отнюдь (не) любезный приём - в этом случае "не" пишется раздельно, так как "отнюдь" подчеркивает отрицание, и "не" не усиливает значение прилагательного.
5. (не) доверчиво, но спокойно - здесь "не" пишется слитно, так как "недоверчиво" является качественным признаком, и "не" усиливает значение слова.
6. (не) замеченная описка - в данном случае "не" пишется раздельно, так как "не" с причастиями пишется раздельно, если не усиливает значение.
7. (не) известный автор - здесь "не" также пишется раздельно, так как "неизвестный" не является качественным признаком, и "не" не усиливает значение.
8. отвечал (не) вежливо - в этом случае "не" пишется раздельно, так как "не" с наречиями пишется раздельно, если не усиливает значение.
9. (не) задумывался - здесь "не" пишется слитно, так как это деепричастие, и "не" с деепричастиями всегда пишется слитно.
10. ещё (не) распустившийся цветок - в данном случае "не" пишется раздельно, так как "не" с причастиями пишется раздельно, если не усиливает значение.

Итак, в каждом случае мы опираемся на правила написания "не" с различными частями речи. Это поможет вам правильно использовать "не" в будущем. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!