Чтобы правильно расставить запятые в данном предложении, давайте разберем его структуру и выделим основные части.

Предложение состоит из главной части и придаточной. Главная часть: "Уже две недели недавно появившийся у нас щенок осваивает мир". Придаточная часть: "заодно прощупывая границы дозволенного".

Теперь рассмотрим каждую часть более подробно:

• Главная часть: "Уже две недели недавно появившийся у нас щенок осваивает мир".
• Придаточная часть: "заодно прощупывая границы дозволенного".

В предложении есть обстоятельственный оборот "заодно прощупывая границы дозволенного", который объясняет, как именно щенок осваивает мир. Этот оборот является дополнительной информацией и должен быть выделен запятой.

Кроме того, в предложении есть уточняющее выражение "недавно появившийся у нас", которое является причастным оборотом и также требует выделения запятыми.

Теперь мы можем записать окончательный вариант с правильными запятыми:

Правильный вариант: "Уже две недели, недавно появившийся у нас, щенок осваивает мир, заодно прощупывая границы дозволенного."

Таким образом, запятая ставится:

1. После слов "две недели" (разделяет обстоятельственный оборот).
2. Перед "щенок" (выделяет причастный оборот).
3. Перед "заодно" (разделяет главную и придаточную части).

Итак, в этом предложении запятые ставятся в трех местах, что помогает четко отделить обороты и сделать текст более понятным.