Давайте разберем синтаксическую роль инфинитива в каждом из предложений.

• У него появилось желание убежать отсюда. - Инфинитив "убежать" является дополнением к существительному "желание". Он отвечает на вопрос "что сделать?" и указывает на действие, которое человек желает совершить.
• Не нагнать тебе бешеной тройки! - Инфинитив "нагнать" выступает в роли сказуемого. Он указывает на действие, которое не удастся выполнить.
• Леса учат человека понимать прекрасное. - Инфинитив "понимать" выполняет функцию дополнения к глаголу "учат". Он отвечает на вопрос "что?" и указывает на то, чему учат.
• И жизнь хороша, и жить хорошо! - Инфинитив "жить" является составной частью сказуемого. Он подчеркивает состояние, которое описывается в предложении.
• Самые чистые рубахи велит капитан надеть! - Инфинитив "надеть" выступает в роли дополнения к глаголу "велит". Он отвечает на вопрос "что сделать?" и указывает на действие, которое капитан приказывает выполнить.
• А царица хохотать и плечами пожимать. - Инфинитивы "хохотать" и "пожимать" выполняют функцию сказуемого и указывают на действия, которые выполняет царица.
• Мы шли свободу отстоять, избавить свет от тьмы. - Инфинитивы "отстоять" и "избавить" являются дополнениями к глаголу "шли". Они отвечают на вопрос "что сделать?" и указывают на цели, ради которых осуществляется действие.
• Не раз поднималось в её душе желание высказать всё. - Инфинитив "высказать" выступает в роли дополнения к существительному "желание". Он отвечает на вопрос "что сделать?" и указывает на действие, которое человек хочет совершить.

Таким образом, инфинитивы в данных предложениях выполняют различные синтаксические роли, в основном выступая в качестве дополнений или частей сказуемого.