Чтобы правильно выбрать предлог в данном контексте, давайте разберем оба варианта: "на" и "по".

• На пути в школу - этот вариант подразумевает, что речь идет о направлении или маршруте, который ведет в школу. То есть, "на пути" указывает на то, что действие происходит в процессе следования к определенному месту.
• По пути в школу - этот вариант также указывает на направление, но акцентирует внимание на том, что действие происходит в процессе движения. "По пути" подразумевает, что в ходе следования к школе могут происходить какие-то дополнительные события или встречи.

Таким образом, оба варианта в целом корректны, но имеют немного разные оттенки значений. Если вы хотите подчеркнуть сам процесс движения к школе, то лучше использовать "по пути". Если же акцент делается на направлении, то можно использовать "на пути".

В итоге, наиболее подходящим вариантом будет: