Чтобы определить, какое из предложений содержит обособленное обстоятельство времени, необходимо вспомнить, что обособленные обстоятельства обычно выделяются запятыми и уточняют обстоятельства действия, такие как время, место, причину и т.д.

Теперь рассмотрим каждое из предложений:

• А. Люди молчали, задумчиво опустив головы. - Здесь "задумчиво опустив головы" является обособленным обстоятельством образа действия, а не времени.
• Б. Мы продолжали идти, не чувствуя усталости. - В этом предложении "не чувствуя усталости" также является обособленным обстоятельством, но оно указывает на причину, а не на время.
• С. Испугавшись крика филина, мальчики побежали сломя голову. - "Испугавшись крика филина" – это обстоятельство причины, а не времени.
• Д. Прижав к груди младенца, мать напевала колыбельную. - "Прижав к груди младенца" – это обстоятельство, указывающее на способ действия, а не на время.
• Е. Он пробрался к себе в комнату, дождавшись ухода чужих людей. - Здесь "дождавшись ухода чужих людей" указывает на время, когда он пробрался в комнату, и является обособленным обстоятельством времени.

Таким образом, правильный ответ - Е. Он пробрался к себе в комнату, дождавшись ухода чужих людей.