Сложносочинённые предложения с общим второстепенным членом – это такие предложения, в которых несколько простых предложений объединены в одно сложное, при этом один из второстепенных членов предложения (например, обстоятельство, дополнение или определение) является общим для всех частей. Рассмотрим ваши примеры и выделим общие второстепенные члены.

1. Воздух был чист и свеж и прозрачен и последняя лёгкая теплота ещё прогревала сосновые чащи.

   В этом предложении второстепенный член "последняя лёгкая теплота" относится только к последней части, а "воздух" - к первой части. Здесь нет общего второстепенного члена.

2. От напряжённой работы у него пересохло во рту и выступил на лбу пот.

   Здесь "от напряжённой работы" является обстоятельством для обеих частей предложения, так как оно объясняет, почему у него пересохло во рту и выступил пот.

3. В окрестных болотах надрывались лягушки и до головной боли пахло багульником.

   В этом предложении "в окрестных болотах" - это обстоятельство, которое относится к обеим частям. Оно объясняет, где происходят оба действия.

4. А вокруг городка день и ночь мокнут растрёпанные ржаные поля и гнутся под порывистым ветром тёмные берёзы.

   Здесь "вокруг городка" является общим обстоятельством для обеих частей, так как оно указывает место, где происходят оба действия.

5. Всё спало кругом и в безмолвии.

   В данном предложении нет общего второстепенного члена, так как обе части не содержат второстепенных членов, которые были бы общими.

Таким образом, примеры, содержащие общий второстепенный член, это второе, третье и четвёртое предложения. Важно помнить, что общий второстепенный член помогает связать части сложносочинённого предложения и делает его более выразительным.