Для синтаксического разбора предложения "Собака задрала лохматый хвост, бубликом повесила язык и, часто сухо дыша, побежала в глубь двора, волоча за собой гремучую цепь" мы будем следовать нескольким шагам. Рассмотрим структуру предложения, его составные части и грамматические связи.

Это сложносочиненное предложение, состоящее из трех частей, соединенных союзами.

• Первая часть: "Собака задрала лохматый хвост"
• Вторая часть: "бубликом повесила язык"
• Третья часть: "и, часто сухо дыша, побежала в глубь двора, волоча за собой гремучую цепь"

В первой части "Собака задрала лохматый хвост" мы имеем простое предложение.

• Подлежащее: "Собака" (существительное, именительный падеж)
• Сказуемое: "задрала" (глагол, прошедшее время, 3-е лицо, единственное число)
• Дополнение: "лохматый хвост" (составное, "лохматый" - прилагательное, "хвост" - существительное, винительный падеж)

Во второй части "бубликом повесила язык" также простое предложение.

• Подлежащее: подразумевается "она" (собака)
• Сказуемое: "повесила" (глагол, прошедшее время, 3-е лицо, единственное число)
• Дополнение: "язык" (существительное, винительный падеж)
• Обстоятельство: "бубликом" (существительное, творительный падеж, обозначает способ действия)

Третья часть "и, часто сухо дыша, побежала в глубь двора, волоча за собой гремучую цепь" также является сложным предложением, содержащим обособленные обстоятельства.

• Подлежащее: подразумевается "она" (собака)
• Сказуемое: "побежала" (глагол, прошедшее время, 3-е лицо, единственное число)
• Обстоятельство места: "в глубь двора" (предложный падеж, указывает на направление)
• Обособленное обстоятельство: "часто сухо дыша" (деепричастный оборот, указывает на дополнительное действие)
• Обстоятельство: "волоча за собой гремучую цепь" (деепричастный оборот, указывает на действие, происходящее одновременно с побегом)
• Дополнение: "гремучую цепь" (прилагательное "гремучую" и существительное "цепь", винительный падеж)

Все части предложения связаны союзом "и", который указывает на соединение действий, выполняемых одним и тем же подлежащим (собакой).

Таким образом, мы разобрали предложение по частям, определили его структуру и синтаксические отношения между элементами. Каждая часть содержит свои подлежащее и сказуемое, а также дополнительные члены, которые уточняют действия и обстоятельства.