В данном предложении необходимо определить количество грамматических основ. Грамматическая основа включает в себя подлежащее и сказуемое. Давайте разберем предложение по частям.

Предложение состоит из нескольких частей, и чтобы найти все грамматические основы, мы можем выделить каждую из них.

1. Первая часть: "Когда у Расина попросили объяснения насчет того, на каком основании он отдал уже играющуюся пьесу в конкурирующий театр".
• Грамматическая основа: "у Расина попросили" (подлежащее - "попросили", сказуемое - "у Расина").
• Вторая часть: "он отдал уже играющуюся пьесу в конкурирующий театр".
• Грамматическая основа: "он отдал" (подлежащее - "он", сказуемое - "отдал").
2. Вторая часть: "тот отозвался тем, что исполнение 'Александра' в Пале-Рояле ему не нравится".
• Грамматическая основа: "тот отозвался" (подлежащее - "тот", сказуемое - "отозвался").
• Подчасть: "исполнение 'Александра' в Пале-Рояле ему не нравится".
• Грамматическая основа: "исполнение не нравится" (подлежащее - "исполнение", сказуемое - "не нравится").
3. Третья часть: "и что, по его мнению, в Бургонском Отеле эта пьеса разойдется лучше".
• Грамматическая основа: "эта пьеса разойдется" (подлежащее - "эта пьеса", сказуемое - "разойдется").

Теперь подведем итоги. Мы нашли следующие грамматические основы:

• у Расина попросили
• он отдал
• тот отозвался
• исполнение не нравится
• эта пьеса разойдется

Таким образом, в предложении содержится пять грамматических основ.