Давайте разберем каждое предложение и устраним синтаксические ошибки.

1. Не обладая какими-либо преимуществами, станок не должен использоваться на особо ответственных операциях.

   Ошибка в этом предложении связана с неправильным употреблением деепричастного оборота. Деепричастный оборот должен относиться к субъекту действия, которым в данном случае является "станок". Однако "станок" сам по себе не может "обладать преимуществами". Исправленный вариант: "Так как станок не обладает какими-либо преимуществами, его не следует использовать на особо ответственных операциях."

2. Если по обычным формулам гидродинамики рассчитать, какое сопротивление оказывается водой телу дельфина, который может плыть со скоростью торпедного катера, тогда получится внушительная цифра.

   В данном предложении лишним является слово "тогда". Исправленный вариант: "Если по обычным формулам гидродинамики рассчитать, какое сопротивление оказывается водой телу дельфина, который может плыть со скоростью торпедного катера, получится внушительная цифра."

3. В связи с тем, что на фабрике установлена система пневмотранспорта, должны работать все имеющиеся в наличии (четыре штуки) купажных барабана, о чем мы не раз обращались, однако только два из этих барабанов переделаны, а еще два подлежат переделке, для которых просим Вас ускорить выделение необходимого металла.

   Это предложение перегружено и сложно для восприятия. Лучше разбить его на несколько предложений. Исправленный вариант: "На фабрике установлена система пневмотранспорта, поэтому должны работать все имеющиеся в наличии купажные барабаны (четыре штуки). Мы не раз обращались по этому поводу. Однако только два из этих барабанов переделаны, а еще два подлежат переделке. Просим вас ускорить выделение необходимого металла для их переделки."

4. Путники отправились искать брод.

   Это предложение не содержит синтаксических ошибок и является корректным.

5. Много сотрудников этого предприятия прошли переподготовку в связи с требованиями, предъявляемыми к современному специалисту.

   Это предложение также не содержит синтаксических ошибок и является корректным.

6. Город Рязань встречал гостей.

   Это предложение корректное и не содержит синтаксических ошибок.

7. Я задала ему вопрос, и в процессе, когда я ожидала ответ, он так и не ответил, как рыба.

   Здесь ошибка связана с неправильным употреблением сравнительного оборота "как рыба". Исправленный вариант: "Я задала ему вопрос, и, пока я ожидала ответ, он так и не ответил, словно рыба."

8. На обратном пути друзья снова заезжали в Малаховку, где проводили время в нескончаемых беседах, разговорах и воспоминаниях.

   Это предложение не содержит синтаксических ошибок и является корректным.

9. Ректор принимает в своем кабинете людей с их проблемами.

   Это предложение корректное и не содержит синтаксических ошибок.

10. Посещение больных согласно внутреннему приказу временно запрещено.

    Это предложение также не содержит синтаксических ошибок и является корректным.