Правильное написание слова - напрасно. Чтобы понять, почему пишется именно так, давайте разберёмся в правилах русского языка.

1. Происхождение слова: Слово "напрасно" происходит от старославянского "прасно", что означало "пустой", "бесполезный". Приставка "на-" добавляет значение "впустую", "без результата".
2. Правило написания: В русском языке приставка "на-" пишется с буквой "а". Приставки с буквой "о" (например, "по-", "об-", "от-") имеют иное значение и используются в других словах.
3. Проверка по словарю: Слово "напрасно" является словарным, его написание нужно запомнить. В таких случаях всегда можно обратиться к орфографическому словарю для уточнения.

Таким образом, запомните, что правильно писать напрасно с буквой "а". Это слово означает "без результата", "впустую".