В выражении "подниматься по лестнице" используется предложный падеж. Давайте разберем это подробнее.

1. Определение главного слова: В данном выражении ключевым словом является "лестнице".
2. Определение падежа: Чтобы понять, в каком падеже находится это слово, нужно задать вопрос. В данном случае мы можем задать вопрос: "По чему?" Ответ на этот вопрос - "по лестнице".
3. Выявление окончания: Слово "лестница" в предложном падеже имеет окончание "-е" (лестнице),что также указывает на его падеж.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в выражении "подниматься по лестнице" слово "лестнице" стоит в предложном падеже.