Слово "стареньком" образовано от прилагательного "старенький". Давайте разберем его написание и поймем, почему в нем пишется буква "е".

Шаги решения:

1. Определяем основу слова. Слово "старенький" состоит из корня "стар" и суффикса "-еньк-". Суффикс "-еньк-" указывает на уменьшительно-ласкательную форму.
2. Проверяем, как изменяется слово. Мы можем изменить его по падежам. Например, в именительном падеже мы говорим "старенький", а в предложном падеже - "о стареньком".
3. Обращаем внимание на окончание. В слове "стареньком" окончание "-ом" указывает на то, что мы используем форму родительного падежа, мужского рода. Однако перед окончанием "-ом" стоит суффикс "-еньк-".
4. Запоминаем правило. В уменьшительно-ласкательных формах прилагательных, оканчивающихся на "-енький", перед окончанием "-ом" пишется буква "е". Это правило касается всех подобных слов. Например, "маленький" - "о маленьком".

Таким образом, в слове "стареньком" пишется буква "е", потому что оно образовано от прилагательного "старенький" и следует правилам написания уменьшительно-ласкательных форм. Запомните это правило, чтобы правильно писать такие слова в будущем!