Чтобы понять роль местоимения «их» в предложении, давайте разберем его по частям.

• Местоимение «их» является притяжательным местоимением во множественном числе.
• Оно указывает на принадлежность чего-либо к нескольким лицам.

В предложении «когда в товарищах согласия нет, на лад их дело не пойдёт, и выйдет из него не дело, только мука» местоимение «их» относится к слову «товарищах». Это означает, что речь идет о делах, которые принадлежат этим товарищам.

• Местоимение «их» подчеркивает, что дело, о котором говорится, связано именно с товарищами, и их согласие имеет значение для успешного завершения этого дела.
• Таким образом, «их» выполняет функцию указания на конкретных людей, чье взаимодействие или согласие критично для ситуации.

Местоимение «их» в данном предложении играет важную роль, так как оно помогает связать идею о необходимости согласия между людьми с результатом их совместной деятельности.