Ответ:
Теперь давайте разберем выделенные слова из текста и определим их род, число и падеж.
- Архимед (м.р., ед.ч., И.п.) - это имя собственное, которое обозначает мужчину, поэтому оно мужского рода. У нас только один Архимед, следовательно, это единственное число. Имя стоит в именительном падеже, так как оно является подлежащим в предложении.
- ученым (м.р., ед.ч., Т.п.) - это существительное, обозначающее профессию. Оно также мужского рода, единственного числа и стоит в творительном падеже, так как мы говорим о том, кем был Архимед.
- Сиракуз (м.ч., Р.п.) - это название города, и в контексте предложения оно употребляется в родительном падеже, так как указывает на местоположение Архимеда.
- Александрии (ж.р., ед.ч., П.п.) - это также название города, и оно употребляется в предложном падеже, так как мы говорим о месте, где учился Архимед.
- мыслителями (м.р., мн.ч., Т.п.) - это существительное во множественном числе, мужского рода, в творительном падеже, так как мы говорим о том, с кем дружил Архимед.
- Греции (ж.р., ед.ч., Р.п.) - это название страны, женского рода, единственного числа и в родительном падеже, поскольку имя указывает на принадлежность.
- множества (ср.р., ед.ч., Т.п.) - это слово обозначает количество и стоит в творительном падеже, единственного числа, среднего рода.
- открытий (ср.р., мн.ч., Р.п.) - это существительное среднего рода, во множественном числе, в родительном падеже, так как мы говорим о том, о чем прославился Архимед.
- математике (ж.р., ед.ч., П.п.) - это существительное, обозначающее науку, женского рода, единственного числа и в предложном падеже, так как оно употребляется с предлогом "в".
- геометрии (ж.р., ед.ч., П.п.) - аналогично предыдущему слову, также в предложном падеже и женского рода.
- основы (ж.р., мн.ч., В.п.) - это существительное женского рода, во множественном числе и в винительном падеже, так как оно является дополнением к глаголу "заложил".
- механики (ж.р., ед.ч., Р.п.) - это слово женского рода, единственного числа, в родительном падеже, так как оно указывает на область знаний, к которой относятся основы.
- счету (м.р., ед.ч., П.п.) - это существительное мужского рода, единственного числа, в предложном падеже, так как оно употребляется с предлогом "на".
- изобретений (ср.р., мн.ч., Р.п.) - это слово среднего рода, во множественном числе и в родительном падеже, так как оно указывает на предметы, относящиеся к счету.
Таким образом, мы подробно разобрали каждое выделенное слово, определив его род, число и падеж. Это помогает лучше понимать структуру языка и грамматические правила.