Чтобы разобрать слово "дорожкой" в выражении "под дорожкой", давайте сначала определим, из каких частей оно состоит, и затем проведем его морфемный и синтаксический разбор.

• Корень: "дорога" - это основа слова, которая указывает на его значение.
• Суффикс: "-ш" - суффикс, который образует уменьшительную форму и придает слову более ласковое значение.
• Окончание: "-кой" - окончание, указывающее на творительный падеж, единственное число.

• Часть речи: Существительное.
• Род: Женский (дорожка).
• Число: Единственное.
• Падеж: Творительный (под дорожкой - указывает на местоположение).

В выражении "под дорожкой" слово "дорожкой" выполняет функцию дополнения и отвечает на вопрос "под чем?". Это указывает на то, что действие происходит в пространстве, связанном с дорожкой.

Таким образом, слово "дорожкой" в данном контексте является существительным в творительном падеже, единственного числа, и выполняет роль дополнения в предложении.