Давайте разберем каждое предложение и найдем слова, содержащие буквы е, ё, ю, я. Обратим внимание на то, где эти буквы обозначают один звук, а где два.

1. С раннего утра, набив рот гвоздями и умудряясь при этом что-то напевать, Али-Улла постукивал сапожным молотком.
   • раннего - буква "е" обозначает один звук [э].
   • умудряясь - буква "я" обозначает два звука [й'а].
   • при - буква "и" не подходит под условия задачи.
   • что-то - буква "е" обозначает один звук [э].
2. Сапожник не обижался, он знал, что это «дежурное» ворчание, и через полчаса Захра ханум напоит его свежезаваренным чаем.
   • обижался - буква "е" обозначает один звук [э].
   • дежурное - буква "е" обозначает один звук [э].
   • ворчание - буква "я" обозначает два звука [й'а].
   • через - буква "е" обозначает один звук [э].
   • чаем - буква "я" обозначает два звука [й'а].
3. К разговору мог подключиться и проходящий мимо стекольщик или старьёвщик.
   • подключиться - буква "ю" обозначает два звука [й'у].
   • проходящий - буква "я" обозначает два звука [й'а].
   • стекольщик - буква "е" обозначает один звук [э].
   • старьёвщик - буква "ё" обозначает два звука [й'о].
4. Когда в будке Али появился новый «хозяин», он не мог понять, почему народ с улочки не к нему идёт чинить обувь, а на соседнюю улицу.
   • хозяин - буква "я" обозначает два звука [й'а].
   • почему - буква "ю" обозначает два звука [й'у].
   • идёт - буква "ё" обозначает два звука [й'о].
   • соседнюю - буква "е" обозначает один звук [э], а буква "ю" обозначает два звука [й'у].
   • улицу - буква "у" не подходит под условия задачи.

Таким образом, буквы е, ё, ю, я могут обозначать как один звук, так и два звука. Это зависит от их позиции в слове и от того, какие звуки их окружают. Если буква стоит после гласной или в начале слова, она обычно обозначает два звука. Если же она стоит после согласной, то, как правило, обозначает один звук.