Теперь рассмотрим каждое предложение по порядку:

1. Сергей - (большой) умница.
   • Здесь "умница" - существительное мужского рода, единственного числа. Поэтому прилагательное "большой" также должно быть в мужском роде и единственном числе. Согласуем: "Сергей - большой умница."
2. (Наш) неряха испачкала только что купленное платье.
   • Слово "неряха" - существительное женского рода, единственного числа. Прилагательное "наш" должно быть в женском роде: " Наша неряха испачкала только что купленное платье."
3. Два (этот) мальчика стали победителями конкурса.
   • Слово "мальчика" - существительное мужского рода, множественного числа. Прилагательное "этот" должно быть во множественном числе: " Эти мальчика стали победителями конкурса."
4. Наша гостья - (начинающий) врач.
   • Слово "гостья" - существительное женского рода. Прилагательное "начинающий" должно быть в женском роде: "Наша гостья - начинающая врач."
5. По пути им встретились три (очаровательный) женщины.
   • Слово "женщины" - существительное женского рода, множественного числа. Прилагательное "очаровательный" должно быть во множественном числе: "По пути им встретились три очаровательные женщины."
6. Он не даром считается (закоренелый) невежей.
   • Слово "невежей" - существительное мужского рода, единственного числа. Прилагательное "закоренелый" должно быть в мужском роде: "Он не даром считается закоренелым невежей."
7. Шестнадцатилетняя девушка показала себя (такой) невежей.
   • Слово "девушка" - существительное женского рода. Прилагательное "такой" должно быть в женском роде: "Шестнадцатилетняя девушка показала себя такой невежей."
8. Утром мы услышали четыре (важный) сообщения.
   • Слово "сообщения" - существительное среднего рода, множественного числа. Прилагательное "важный" должно быть во множественном числе: "Утром мы услышали четыре важных сообщения."
9. (Мой) коллега Нина Сергеевна отправилась поездом в Новосибирск.
   • Слово "коллега" - существительное женского рода. Прилагательное "мой" должно быть в женском роде: "Моя коллега Нина Сергеевна отправилась поездом в Новосибирск."
10. (Опытной) руководитель Константиновна не согласилась с мнением своего заместителя.
    • Слово "руководитель" - существительное женского рода. Прилагательное "опытной" должно быть в женском роде: "Опытная руководитель Константиновна не согласилась с мнением своего заместителя."

Таким образом, мы согласовали все определения с определяемыми словами. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!