Чтобы в данных словах возникла необходимость писать разделительный мягкий знак, нужно изменить их форму или добавить к ним приставки, суффиксы или окончания, которые требуют употребления мягкого знака. Рассмотрим каждый из этих примеров:

• Уметь - Умение
• Гулять - Прогулка
• Варить - Варенье
• Сидеть - Посидеть
• Учить - Учение
• Солить - Посолить
• Жить - Жизнь
• Сын - Сынок

Теперь давайте подробнее разберем, как в каждом случае появляется разделительный мягкий знак:

1. Уметь - Умение: при образовании существительного от глагола добавляется суффикс "-ие", который требует мягкий знак.
2. Гулять - Прогулка: суффикс "-ка" также требует мягкий знак в некоторых формах.
3. Варить - Варенье: здесь мы добавляем суффикс "-енье", который требует мягкий знак.
4. Сидеть - Посидеть: приставка "по-" перед глаголом требует разделительного мягкого знака.
5. Учить - Учение: суффикс "-ение" требует разделительного мягкого знака.
6. Солить - Посолить: приставка "по-" также требует мягкого знака.
7. Жить - Жизнь: при образовании существительного от глагола добавляется суффикс "-н", который требует мягкий знак.
8. Сын - Сынок: суффикс "-ок" требует разделительного мягкого знака.

Таким образом, мы видим, что разделительный мягкий знак появляется в результате изменения формы слова или добавления к нему определенных морфем. Это важный аспект русского языка, который нужно учитывать при написании.