Давайте проведем полный синтаксический разбор предложения "По окончании института Фёдор должен был возвратиться в село агрономом". Мы будем разбирать его по частям, чтобы понять структуру и функции каждого элемента.

Это сложноподчинённое предложение, состоящее из главной и зависимой части.

• Главная часть: "Фёдор должен был возвратиться в село агрономом".
• Зависимая часть: "По окончании института".

1. Слово "Фёдор": подлежащее, именительный падеж, одушевлённое существительное.
2. Слово "должен": составное сказуемое, модальный глагол, указывает на необходимость.
3. Слово "был": вспомогательный глагол, часть составного сказуемого.
4. Слово "возвратиться": инфинитив, часть составного сказуемого, обозначает действие.
5. Слово "в": предлог, указывает направление.
6. Слово "село": дополнение, существительное в винительном падеже, обозначает место.
7. Слово "агрономом": обстоятельство, существительное в творительном падеже, указывает на роль или профессию.

1. Слово "по": предлог, вводит обстоятельственный оборот.
2. Слово "окончании": существительное, предложный падеж, обозначает время.
3. Слово "института": существительное, родительный падеж, указывает на принадлежность.

Зависимая часть "По окончании института" уточняет, когда именно Фёдор должен был возвратиться, и выполняет функцию обстоятельства времени.

Таким образом, мы видим, что предложение состоит из главной и зависимой частей, каждая из которых имеет свои члены и выполняет определённые функции. Главная часть выражает основное действие, а зависимая часть уточняет время этого действия.