Давайте разберем это предложение по членам!

В предложении "За круглым столом под большой лампой сидели с книгами матушка и Аркадий Иванович" мы можем выделить следующие члены:

• Обстоятельство места: "За круглым столом под большой лампой"
• Сказуемое: "сидели"
• Подлежащее: "матушка и Аркадий Иванович"
• Обстоятельство с дополнением: "с книгами"

Теперь о знаках препинания!

В данном предложении знаки препинания не требуются, так как оно является простым и не содержит вводных слов или обособленных членов. Однако, если бы мы добавили вводное слово или уточнение, то могли бы поставить запятую. Например:

• Предложение с вводным словом: "Кстати, за круглым столом под большой лампой сидели с книгами матушка и Аркадий Иванович."

В итоге: предложение простое, члены предложения четко выделяются, и знаки препинания не нужны. Здорово, правда? Учиться разбирать предложения - это увлекательно!