Конечно, давайте разберёмся, как образовать существительные от данных глаголов и выделим корни в образованных словах.

Для начала, напомню, что корень слова — это его основная часть, которая несёт основное лексическое значение. Теперь приступим к образованию существительных:

1. Предлагать — предложение
• Корень: предлаг — предлож
2. Предполагать — предположение
• Корень: предполаг — предполож
3. Слагать — сложение
• Корень: слаг — слож
4. Прилагать — приложение
• Корень: прилаг — прилож
5. Располагать — расположение
• Корень: располаг — располож
6. Касаться — касание
• Корень: кас — кас
7. Прикоснуться — прикосновение
• Корень: кос — кос

Таким образом, мы образовали существительные от данных глаголов и выделили в них корни. Обратите внимание, что в некоторых случаях корень может изменяться, как это произошло, например, в словах "предлагать" и "предложение". Это связано с особенностями русского языка и процессами словообразования.