Слово «чёрной» в данном примере стоит в родительном падеже.
Чтобы определить падеж слова, нужно задать к нему вопрос от главного слова в словосочетании: «дам (кого? / что?) чёрной (кого? / что?) ночи». Вопрос «кого?» или «чего?» — это вопросы родительного падежа.