Чтобы определить падеж выделенного слова "РЕКЕ", давайте вспомним, как мы определяем падеж существительных.

Существительные в русском языке могут находиться в разных падежах, и каждый падеж отвечает на определённые вопросы. Рассмотрим падежи и соответствующие им вопросы:

• Именительный падеж (кто? что?)
• Родительный падеж (кого? чего?)
• Дательный падеж (кому? чему?)
• Винительный падеж (кого? что?)
• Творительный падеж (кем? чем?)
• Предложный падеж (о ком? о чём?)

Теперь давайте посмотрим на предложение: "Осталась Серая Шейка зимовать на РЕКЕ". Слово "РЕКЕ" используется в контексте, где мы говорим о месте, где зимует Серая Шейка. Это место обозначает, где именно происходит действие.

В данном случае слово "РЕКЕ" отвечает на вопрос "на чём?" или "где?", что соответствует предложному падежу.

Таким образом, выделенное слово "РЕКЕ" находится в предложном падеже.