Давайте внимательно рассмотрим предложенные предложения и подберем подходящие слова из списка.

1. Арам Хачатурян ... в 1903 году.
• Здесь нам нужно указать, когда родился Арам Хачатурян. Слово "родился" подходит по смыслу. Получается: Арам Хачатурян родился в 1903 году.
2. Первыми впечатлениями его детства стали ......
• В этом предложении речь идет о том, что запомнилось в детстве. Слово "народные песни" хорошо подходит, так как это может быть частью его детских воспоминаний. Получается: Первыми впечатлениями его детства стали народные песни.
3. Родители не поддерживали ... сына.
• Здесь необходимо указать, кого именно не поддерживали родители. Слово "увлечение" подходит, так как родители могли не поддерживать увлечение своего сына. Получается: Родители не поддерживали увлечение сына.
4. В Москве он .... в Музыкальное училище.
• В этом предложении нам нужно указать, что он сделал в Москве. Слово "поступил" подходит по смыслу. Получается: В Москве он поступил в Музыкальное училище.
5. «Танец с саблями» Хачатурян .... всего за сутки.
• Здесь мы говорим о том, что он сделал с "Танцем с саблями". Слово "сочинил" подходит, так как он написал это произведение. Получается: «Танец с саблями» Хачатурян сочинил всего за сутки.
6. Огромной популярностью пользуется и балет «Спартак».
• Это предложение уже завершено и не требует вставки слова, так как "популярностью" уже присутствует в тексте.

Таким образом, итоговые предложения будут выглядеть так:

• Арам Хачатурян родился в 1903 году.
• Первыми впечатлениями его детства стали народные песни.
• Родители не поддерживали увлечение сына.
• В Москве он поступил в Музыкальное училище.
• «Танец с саблями» Хачатурян сочинил всего за сутки.
• Огромной популярностью пользуется и балет «Спартак».