В данном задании необходимо дополнить окончания причастий, чтобы они соответствовали правилам русского языка. Рассмотрим каждое предложение по отдельности:

1. Друг предназначавш ся для площади памятник был забракован.

   Правильный вариант: предназначавшийся. Это форма прошедшего времени от глагола "предназначаться", которая образуется с помощью суффикса "-вш-".

2. Нота, выходящ из-под смычка или из-под пальца музыканта, должна быть слышна в одинаковой степени.

   Правильный вариант: выходящая. Это форма настоящего времени от глагола "выходить", образуемая с помощью суффикса "-ащ-".

3. Он сказал моему другу, год мучивш ся отсутствием писем от родных, что письмо будет очень скоро.

   Правильный вариант: мучившемуся. Это форма прошедшего времени от глагола "мучиться", которая образуется с помощью суффикса "-вш-".

4. С кем-то она договаривается насчёт наступающ праздника.

   Правильный вариант: наступающего. Это форма настоящего времени от глагола "наступать", образуемая с помощью суффикса "-ущ-".

5. Мы любовались густыми могучими елями, трепещущ на ветру.

   Правильный вариант: трепещущими. Это форма настоящего времени от глагола "трепетать", образуемая с помощью суффикса "-ущ-".

Таким образом, исправленные предложения выглядят следующим образом:

1. Друг предназначавшийся для площади памятник был забракован.
2. Нота, выходящая из-под смычка или из-под пальца музыканта, должна быть слышна в одинаковой степени.
3. Он сказал моему другу, год мучившемуся отсутствием писем от родных, что письмо будет очень скоро.
4. С кем-то она договаривается насчёт наступающего праздника.
5. Мы любовались густыми могучими елями, трепещущими на ветру.