Чтобы избежать неоправданного повтора однокоренных слов в предложениях, можно воспользоваться несколькими приемами. Давайте рассмотрим предложенные вами примеры и подумаем, как их улучшить.

1. За ними гналась погоня.
   • Здесь можно заменить слово "погоня" на синоним или переформулировать предложение. Например: "За ними следовал преследователь."
2. Отец Васи взглянул на него подозрительным взглядом.
   • Можно переформулировать: "Отец Васи взглянул на него с подозрением."
3. Учитель учит учеников правильно употреблять слова в речи.
   • Здесь можно избежать повтора, сказав: "Учитель обучает своих учеников правильному употреблению слов в речи."
4. Ярким светом светились радостные лица ребят.
   • Заменим слово "светом": "Яркий свет озарял радостные лица ребят."
5. Он накрошил в суп крошек и дал еду собаке.
   • Можно сказать: "Он накрошил в суп хлеба и дал еду собаке."
6. Радиопередачу передавали поздно вечером.
   • Здесь можно изменить конструкцию: "Радиопередачу транслировали поздно вечером."

Таким образом, чтобы избежать неоправданного повтора однокоренных слов, старайтесь использовать синонимы, переформулировать предложения или изменять структуру фраз. Это сделает вашу речь более разнообразной и выразительной.