Чтобы определить безударную проверяемую гласную в корне слов, необходимо следовать определённым шагам. Давайте разберём это на примерах, которые вы привели.

1. Выделите корень слова. Для этого нужно знать, какие морфемы составляют слово.
2. Определите, какая гласная стоит в корне под ударением. Это поможет понять, какую букву нужно проверить.
3. Подберите проверочное слово. Это слово должно быть с ударением на ту же гласную, что и в корне исследуемого слова.
4. Проверьте, какая буква стоит в проверочном слове. Это и будет ответом на ваш вопрос о безударной гласной.

Теперь давайте применим эти шаги к вашим примерам:

• мех..нический: корень "мех", проверочное слово "механизм" (буква "а").
• сист..матизировать: корень "сист", проверочное слово "система" (буква "е").
• тр..нажёр: корень "трен", проверочное слово "тренировать" (буква "е").

• ВД..леке: корень "д", проверочное слово "долг" (буква "о").
• выск..зать: корень "ск", проверочное слово "сказать" (буква "а").
• сбер..гать: корень "бер", проверочное слово "брать" (буква "а").

• экон..мичный: корень "ном", проверочное слово "экономия" (буква "а").
• изл..гать: корень "зл", проверочное слово "излить" (буква "и").
• эл.мент: корень "мент", проверочное слово "элементарный" (буква "е").

• удл..нить: корень "дл", проверочное слово "длинный" (буква "и").
• выв..дение: корень "вед", проверочное слово "вести" (буква "и").
• выбрать: корень "б", проверочное слово "брать" (буква "а").

• акад..мический: корень "дем", проверочное слово "академия" (буква "е").
• губ..рнатор: корень "губ", проверочное слово "губа" (буква "у").
• заг..релый: корень "гор", проверочное слово "гореть" (буква "а").

Таким образом, мы можем определить безударные гласные в корнях слов, используя проверочные слова. Это помогает избежать ошибок в написании и усвоить правила русского языка.