Чтобы правильно употребить глаголы в прошедшем времени и согласовать их с существительными, нужно учитывать род и число существительных, к которым относятся глаголы. Давайте разберем предложенные вами примеры по шагам.

1. Врач Смирнова (выписать) рецепт.
   • Существительное "врач" в данном случае имеет мужской род.
   • Глагол "выписать" нужно согласовать с существительным "врач". В прошедшем времени он будет "выписал".
   • Итог: "Врач Смирнова выписал рецепт."
2. Опытный инженер Иван Петрович (участвовать) в научно-технической конференции.
   • Существительное "инженер" также в мужском роде.
   • Глагол "участвовать" в прошедшем времени будет "участвовал".
   • Итог: "Опытный инженер Иван Петрович участвовал в научно-технической конференции."
3. По оживлённым лицам архитектор Нина Николаевна (понять), что проект принят.
   • Существительное "архитектор" в данном случае имеет женский род.
   • Глагол "понять" в прошедшем времени будет "поняла".
   • Итог: "По оживлённым лицам архитектор Нина Николаевна поняла, что проект принят."
4. Молодая географ Анечка (исследовать) природные и экономические условия своего родного края.
   • Существительное "географ" имеет женский род.
   • Глагол "исследовать" в прошедшем времени будет "исследовала".
   • Итог: "Молодая географ Анечка исследовала природные и экономические условия своего родного края."
5. Профессор Рождественская (взойти) на кафедру и (обратиться) к студентам с приветствием.
   • Существительное "профессор" в данном случае имеет женский род.
   • Глагол "взойти" в прошедшем времени будет "взошла".
   • Глагол "обратиться" в прошедшем времени будет "обратилась".
   • Итог: "Профессор Рождественская взошла на кафедру и обратилась к студентам с приветствием."

Таким образом, при согласовании глаголов в прошедшем времени с существительными важно учитывать род и число существительных, чтобы предложение звучало правильно и естественно.