Чтобы определить, какое из предложенных словосочетаний содержит глагол, выступающий в роли наречия, давайте рассмотрим каждое из них.

• А) недалеко от города - здесь нет глагола. Словосочетание состоит из наречия "недалеко" и существительного "город".
• В) очень привлекательный - в этом словосочетании также нет глагола. "Привлекательный" - это прилагательное, а "очень" - наречие.
• С) дом напротив - в этом словосочетании слово "напротив" является предлогом, а не глаголом.
• D) путь наверх - здесь также нет глагола. "Наверх" - это наречие, но не глагол.
• E) проверил дважды - в этом словосочетании "проверил" - это глагол, а "дважды" - наречие. Здесь глагол "проверил" указывает на действие и может отвечать на вопрос "что сделал?", но "дважды" уточняет, как именно было совершено это действие.

Таким образом, правильный ответ - Е) проверил дважды, так как здесь глагол "проверил" выполняет роль действия, а "дважды" уточняет, как это действие было выполнено, что делает его наречием.